纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢! 

数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是某种数学证明最好的办法,常用于证明命题(命题是对某个问題的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了一些一些领域(比如数学分析)的基础,很多很多很多很多数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法某种非常简单。可能当.我 我让你证明某个命题对于自然数n都成立,还都可以 :

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下后面 的2个 步骤。它们实际上愿因分析着,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。之后,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,当.我 选则n的倒下会愿因分析n + 1的倒下,之后推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

当.我 来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(某种 公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,时要算出1到30的累加,还都可以回家。于是高斯想出了后面 的最好的办法。天才还会被逼出来的么?)

当.我 的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,之后命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    还都可以 ,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。之后,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

之后,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指2个 计算机线程调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求线程有2个 还都可以达到的终止条件(base case)。比如下面的线程,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在线程中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。我让你得到f(n),时要计算f(n-1);我让你f(n-1),时要计算f(n-2)……直到f(1)。可能当.我 可能知道了f(1)的值,当.我 就还都可以 填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的线程实现。使用递归设计线程的之后,当.我 设置base case,并假设当.我 会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,当.我 只关注初始和衔接,而不时要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据形态学 实现的。正如当.我 后面 所说的,计算f(n),时要f(n-1);计算f(n-1),时要f(n-2)……。当.我 在寻找到f(1)之后,会有一些空缺: f(n-1)的值哪几个? f(n-2)的值是哪几个? …… f(2)的值是哪几个?f(1)的值是哪几个? 当.我 的第2个 问題是f(n)是哪几个,结果,某种 问題引出下2个 问題,再下2个 问題…… 每个问題的解答都依赖于下2个 问題,直到当.我 找到第2个 还都可以 回答的问題: f(1)的值是哪几个?

当.我 用栈来保存当.我 在探索过程中的问題。C语言中,函数的调用可能是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,很多很多很多很多很自然的,递归用栈来保存当.我 的“问題” 。

当.我 假设栈向下增长。首先,当.我 调用f(30),还都可以 当执行到

return f(n-1) + n; 

f(30)暂停执行,并记录当前的具体情况,比如n的值,当前执行到的位置。之后调用f(99),栈增加2个 frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

之后返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(30),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(30)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也还都可以 自行手动实现栈。原来 还都可以 得到更好的运行时延单位。

总结

数学归纳法

递归

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