JavaScript数据结构——图的实现

  • 时间:
  • 浏览:1

  在计算机科学中,图是五种生活网络行态的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。3个图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了3个图的行态:

  在介绍咋样用JavaScript实现图若果,他们歌词 先介绍一点和图相关的术语。

  如上图所示,由根小边连接在一块儿的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。3个顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它3个顶点相连,本来A的度为3,E和其它3个顶点相连,本来E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图中中含路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不包中含重复的顶点,原困 将的最后3个顶点换成,它也是3个简单路径。这类路径ADCA是3个环,它就有3个简单路径,原困 将路径中的最后3个顶点A换成,这样 它若果3个简单路径。原困 图中不趋于稳定环,则称该图是无环的。原困 图中任何3个顶点间都趋于稳定路径,则该图是连通的,如上图若果3个连通图。原困 图的边这样 方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,原困 3个顶点间在双向上都趋于稳定路径,则称这3个顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。原困 有向图中的任何3个顶点间在双向上都趋于稳定路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还都里能是加权的。前面他们歌词 看了的图就有未加权的,下图为3个加权的图:

  都里能想象一下,前面他们歌词 介绍的树和链表也属于图的五种生活特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,这类他们歌词 都里能搜索图中的3个特定顶点或根小特定的边,原困 寻找3个顶点间的路径以及最短路径,检测图中含无趋于稳定环等等。

  趋于稳定多种不同的依据来实现图的数据行态,下面介绍几种常用的依据。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,他们歌词 用3个二维数组来表示图中顶点之间的连接,原困 3个顶点之间趋于稳定连接,则这3个顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,但会 为0。下图是用邻接矩阵依据表示的图:

  原困 是加权的图,他们歌词 都里能将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵依据趋于稳定3个缺点,原困 图是非强连通的,则二维数组中会有本来的0,这表示他们歌词 使用了本来的存储空间来表示根本不趋于稳定的边。若果缺点若果当图的顶点趋于稳定改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外五种生活实现依据是邻接表,它是对邻接矩阵的五种生活改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,他们歌词 都里能用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  他们歌词 还都里能用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的状况下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵依据表示的图:

  下面他们歌词 重点看下咋样用邻接表的依据表示图。他们歌词 的Graph类的骨架如下,它用邻接表依据来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中换成3个新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中换成a和b3个顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,他们歌词 用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据行态——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每3个顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面他们歌词 给出的邻接表的示意图。但会 在Graph类中,他们歌词 提供3个依据,依据addVertex()用来向图中换成3个新顶点,依据addEdge()用来向图中换成给定的顶点a和顶点b之间的边。我想们来看下这3个依据的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要换成3个新顶点,首好难判断该顶点在图中含无原困 趋于稳定了,原困 原困 趋于稳定则不到换成。原困 不趋于稳定,就在vertices数组中换成3个新元素,但会 在字典adjList中换成3个以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 原困

图中这样

顶点a,先换成顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 原困

图中这样

顶点b,先换成顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中换成指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中换成指向顶点a的边
}

  addEdge()依据也很简单,首好难确保给定的3个顶点a和b在图中时要趋于稳定,原困 不趋于稳定,则调用addVertex()依据进行换成,但会 分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中换成3个新元素。

  下面是Graph类的删剪代码,其中的toString()依据是为了他们歌词 测试用的,它的趋于稳定就有时要的。

  对于本文一开始英文了给出的图,他们歌词 换成下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  都里能看了,与示意图是相符合的。

  和树这类,他们歌词 也都里能对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历依据分为五种生活:广度优先(Breadth-First Search,BFS)和厚度优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历都里能用来寻找特定的顶点或3个顶点之间的最短路径,以及检查图有无连通、图中含无中含环等。

  在接下来要实现的算法中,他们歌词 按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问但会 被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第3个顶点开始英文了遍历图,先访问五种顶点的所有相邻顶点,但会 再访问哪些地方地方相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  原困 他们歌词 采用邻接表的依据来存储图的数据,对于图的每个顶点,就有3个字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于五种数据行态,他们歌词 都里能考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,但会 依次除理队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将开始英文了顶点存入队列。
  2. 遍历开始英文了顶点的所有邻接顶点,原困 哪些地方地方邻接顶点这样 被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),但会 加入队列。
  3. 将开始英文了顶点标记为被除理(颜色为黑色)。
  4. 循环除理队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()依据接收3个graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要咋样除理被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),哪些地方地方颜色保趋于稳定以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性都里能通过getVertices()和getAdjList()依据得到,但会 构造3个队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据行态——队列的实现与应用》),按照上方描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面他们歌词 给出的测试用例的基础上,换成下面的代码,来看看breadthFirstSearch()依据的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也若果他们歌词 用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,他们歌词 将顶点I插进最上方。从顶点I开始英文了,首先遍历到的是它的相邻顶点E,但会 是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D原困 被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G原困 被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,他们歌词 都里能使用它做更多的事情,这类在3个图G中,从顶点v开始英文了到其它所有顶点间的最短距离。他们歌词 考虑一下咋样用BFS来实现寻找最短路径。

  假设3个相邻顶点间的距离为1,从顶点v开始英文了,在其路径上每经过3个顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()依据的改进,用来返回从起始顶点开始英文了到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()依据中,他们歌词 定义了3个对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及哪些地方地方顶点的前置顶点。BFS()依据不时要callback回调函数,原困 它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()依据的逻辑这类,只不过在开始英文了的若果将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,但会 在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。他们歌词 仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A开始英文了到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()依据的返回结果为基础,通过下面的代码,他们歌词 都里能得出从顶点A开始英文了到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类都里能参考《JavaScript数据行态——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上他们歌词 说的就有未加权的图,对于加权的图,广度优先算法并就有最相当于的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

厚度优先

  厚度优先算法从图的第3个顶点开始英文了,沿着五种顶点的根小路径递归查找到最后3个顶点,但会 返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,厚度优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是厚度优先遍历的示意图:

  他们歌词 仍然采用和广度优先算法一样的思路,一开始英文了将所有的顶点初始化为白色,但会 沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,原困 顶点被探索过(除理过),则将颜色改为黑色。下面是厚度优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第3个顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数内部人员,原困 顶点A被访问过了,本来将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(原困 趋于稳定),但会 遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,本来将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,本来将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,本来将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I这样 邻接节点,但会 将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E这样 其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的若果邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,本来将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F这样 邻接节点,但会 将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第3个邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,本来将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,本来将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,本来将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G这样 邻接节点,但会 将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的若果邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,本来将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H这样 邻接节点,但会 将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的若果邻接节点G,原困 G原困 被访问过,对C的邻接节点的遍历开始英文了。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后3个邻接节点D,原困 D原困 被访问过,对A的邻接节点的遍历开始英文了。将A设置为黑色。
  17. 但会 对剩余的节点进行遍历。原困 剩余的节点都被设置为黑色了,本来多多线程 开始英文了。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,他们歌词 将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,厚度优先算法的数据行态是栈,然而这里他们歌词 并这样 使用栈来存储任何数据,若果使用了函数的递归调用,人太好 递归也是栈的五种生活表现形式。另外一点,原困 图是连通的(即图中任何3个顶点之间都趋于稳定路径),他们歌词 都里能对上述代码中的depthFirstSearch()依据进行改进,只时要对图的起始顶点开始英文了遍历一次就都里能了,而不时要遍历图的所有顶点,原困 从起始顶点开始英文了的递归就都里能覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了厚度优先算法的工作原理,他们歌词 都里能使用它做更多的事情,这类拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort原困 toposort)。与广度优先算法这类,他们歌词 也对上方的depthFirstSeach()依据进行改进,以说明咋样使用厚度优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()依据会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,他们歌词 假定时间从0开始英文了,每经过一步时间值加1。在DFS()依据中,他们歌词 用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(五种和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映这3个值。这里时要注意的是,变量time之本来被定义为对象而就有3个普通的数字,原困 他们歌词 时要在函数间传递五种变量,原困 若果作为值传递,函数内部人员对变量的修改无需影响到它的原始值,但会 他们歌词 若果时要在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,本来采用值传递的依据显然不行。但会 他们歌词 将time定义为3个对象,对象被作为引用传递给函数,若果在函数内部人员对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()依据的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  他们歌词 将结果反映到示意图上,若果更加直观:

  示意图上每3个顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,删剪完成时间是18,都里能结合前面的厚度优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。一块儿他们歌词 也看了,厚度优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序不到应用于有向无环图(DAG)。基于上方DFS()依据的返回结果,他们歌词 都里能对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到他们歌词 时要的拓扑排序结果。

  原困 要实现有向图,只时要对前面他们歌词 实现的Graph类的addEdge()依据略加修改,将最后一行删掉。当然,他们歌词 也都里能在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  但会 他们歌词 对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章他们歌词 将介绍咋样用JavaScript来实现各种常见的排序算法。